Chứng minh bất đẳng thức sau : Nếu 3x + 4y = 1 thì \(x^2+y^2\ge\frac{1}{25}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
0
26 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
5 tháng 8 2017
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
4 tháng 2 2017
BĐT Cosi cho 2 số a,b >0:
a + b >= 2căn(ab)
di từ: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 )
<=> a + b - 2√(ab) ≥ 0
<=> a + b ≥ 2√(ab)
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b
(a+b)/2 >=Cab(C là căn)
a+b>=2*Cab
(a+b)^2>=4*ab
a^2+2ab+b^2-4ab>=0
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0(luôn đúng)
vây ta được điều cm
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn
4 tháng 2 2017
(a+b)/2 >=Cab(C là căn)
a+b>=2*Cab
(a+b)^2>=4*ab
a^2+2ab+b^2-4ab>=0
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0(luôn đúng)
vây ta được điều cm
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn
\(3x+4y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{1-4y}{3}\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2\Leftrightarrow\left(\dfrac{1-4y}{3}\right)^2+y^2=\dfrac{\left(4y-1\right)^2}{9}+y^2=\dfrac{16y^2-8y+1+9y^2}{9}=\dfrac{25y^2-8y+1}{9}=\dfrac{\left(5y\right)^2-2.5y.\dfrac{4}{5}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\dfrac{9}{25}}{9}=\dfrac{\left(5y-\dfrac{4}{5}\right)^2+\dfrac{9}{25}}{9}\ge\dfrac{\dfrac{9}{25}}{9}=\dfrac{1}{25}\left(đpcm\right)\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{25}\\x=\dfrac{3}{25}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng Bunhiacopski:
\(\left(x^2+y^2\right)\left(3^2+4^2\right)\ge\left(3x+4y\right)^2=1\\ \Leftrightarrow25\left(x^2+y^2\right)\ge1\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{25}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{3^2}=\dfrac{y^2}{4^2}\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{3x+4y}{9+16}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{25}\\y=\dfrac{4}{25}\end{matrix}\right.\)